Михаил Векуа в 2004 году окончил Московскую государственную консерваторию им. П.И. Чайковского, а в 2007-м – аспирантуру при ней (класс Алексея Мартынова).
С 2002 по 2011 год был солистом Московского академического музыкального театра им. К.С. Станиславского и Вл.И. Немировича-Данченко.
В 2012-м дебютировал в Мариинском театре, исполнив партию Логе в «Золоте Рейна». С 2013 года – солист оперной труппы.
Также в репертуаре: Синодал («Демон»), Левко («Майская ночь»), Моцарт («Моцарт и Сальери»), Водемон («Иоланта»), Алексей («Игрок»), Андрей («Мазепа»), Поллион («Норма»), Эдгар («Лючия ди Ламмермур»), Измаил («Набукко»), Альваро («Сила судьбы»), Рудольф («Богема»), Каварадосси («Тоска»), Пинкертон («Мадам Баттерфлай»), Вертер («Вертер»), Альфред («Летучая мышь»), теноровые партии в Девятой симфонии Бетховена, Messa di Gloria Пуччини, «Колоколах» Рахманинова.
В Мариинском театре пел на премьерах спектаклей «Самсон и Далила» и «Пиковая дама». Исполнил партию Зигмунда в «Валькирии» Вагнера под управлением Кента Нагано в Концертном зале им. П. И. Чайковского (2010), партию Логе в «Золоте Рейна» на Эдинбургском фестивале и в Концертном зале им. П. И. Чайковского (гастроли мариинской труппы), заглавную партию в «Тристане и Изольде» в Концертном зале Мариинского театра (2017).
Участник американской премьеры оперы «Орестея» Танеева, в которой исполнил партию Ореста (2013, Центр исполнительских искусств Ричарда Фишера).
Выступал в Большом и Малом залах Московской консерватории и Санкт-Петербургской филармонии, в Гербовом зале Эрмитажа. Пел на сцене Большого театра Лисеу в Барселоне и в Метрополитен-опере.