Михаил Векуа в 2004 году окончил Московскую государственную консерваторию им. П.И. Чайковского, а в 2007-м – аспирантуру при ней (класс Алексея Мартынова).
С 2002 по 2011 год был солистом Московского академического музыкального театра им. К.С. Станиславского и Вл.И. Немировича-Данченко.
В 2012-м дебютировал в Мариинском театре, исполнив партию Логе в «Золоте Рейна». С 2013 года – солист оперной труппы.